Ví dụ: Hàm số bậc hai

Giới thiệu bài học

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hàm số bậc hai – một trong những hàm số quan trọng nhất trong Toán học lớp 12. Hàm số bậc hai xuất hiện nhiều trong thực tế, từ hình dạng của vòi phun nước, đường bay của quả bóng, cho đến các bài toán kinh tế. Qua bài học hôm nay, em sẽ nắm vững khái niệm parabol và cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai qua các ví dụ minh họa từng bước.

Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức:

y = ax² + bx + c (với a ≠ 0)

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, a khác 0.
• Tập xác định của hàm số bậc hai là R (tất cả các số thực).

2. Đồ thị của hàm số bậc hai – Parabol

Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c là một đường cong gọi là parabol. Parabol có các đặc điểm chính:

• Đỉnh parabol: điểm I (x₀; y₀) với x₀ = -b/(2a), y₀ = -Δ/(4a) (trong đó Δ = b² - 4ac).
• Trục đối xứng: đường thẳng x = -b/(2a).
• Bề lõm:
  • Nếu a > 0: bề lõm hướng lên trên (parabol có dạng chữ U).
  • Nếu a < 0: bề lõm hướng xuống dưới (parabol có dạng chữ U ngược).
• Giao điểm với trục tung: tại điểm (0; c).
• Giao điểm với trục hoành: là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (nếu có).

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Vẽ parabol y = x² - 4x + 3

Bước 1: Xác định hệ số và tính đỉnh

• a = 1, b = -4, c = 3
• Hoành độ đỉnh: x₀ = -b/(2a) = -(-4)/(2×1) = 4/2 = 2
• Tung độ đỉnh: y₀ = f(2) = 2² - 4×2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
• Vậy đỉnh I = (2; -1)

Bước 2: Xác định bề lõm

• Vì a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm hướng lên trên (hình chữ U).

Bước 3: Tìm giao điểm với các trục

• Giao điểm với trục tung: cho x = 0 → y = 3 → điểm A(0; 3)
• Giao điểm với trục hoành: giải phương trình x² - 4x + 3 = 0
  → (x - 1)(x - 3) = 0 → x = 1 hoặc x = 3
  → hai điểm B(1; 0) và C(3; 0)

Bước 4: Xác định thêm một số điểm

Lấy thêm hai điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 2:

• Điểm A(0; 3) có điểm đối xứng là D(4; 3)
• Lấy thêm điểm x = -1 → y = (-1)² - 4×(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 → E(-1; 8)
• Điểm E đối xứng với F(5; 8) qua trục đối xứng

Bước 5: Vẽ parabol

Nối các điểm A, B, I, C, D, E, F bằng một đường cong mượt, nhẵn, có bề lõm hướng lên và đi qua đỉnh I. Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 2.

Ví dụ 2: Vẽ parabol y = -x² + 2x + 3

Bước 1: Xác định hệ số và tính đỉnh

• a = -1, b = 2, c = 3
• Hoành độ đỉnh: x₀ = -b/(2a) = -2/(2×(-1)) = -2/(-2) = 1
• Tung độ đỉnh: y₀ = f(1) = -(1)² + 2×1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
• Vậy đỉnh I = (1; 4)

Bước 2: Xác định bề lõm

• Vì a = -1 < 0 nên parabol có bề lõm hướng xuống dưới (hình chữ U ngược).

Bước 3: Tìm giao điểm với các trục

• Giao điểm với trục tung: cho x = 0 → y = 3 → điểm A(0; 3)
• Giao điểm với trục hoành: giải phương trình -x² + 2x + 3 = 0
  → x² - 2x - 3 = 0 → (x - 3)(x + 1) = 0 → x = 3 hoặc x = -1
  → hai điểm B(3; 0) và C(-1; 0)

Bước 4: Xác định thêm điểm

• Điểm A(0; 3) đối xứng qua trục x = 1 là D(2; 3)
• Lấy thêm x = -2 → y = -(-2)² + 2×(-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 → E(-2; -5)
• Điểm E đối xứng với F(4; -5)

Bước 5: Vẽ parabol

Nối các điểm C, A, I, D, B, E, F bằng đường cong mượt, bề lõm hướng xuống, đỉnh I là điểm cao nhất. Trục đối xứng x = 1.

Ghi nhớ

• Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
• Đồ thị là parabol với đỉnh I(-b/(2a); -Δ/(4a)).
• a > 0: bề lõm hướng lên (đỉnh là điểm thấp nhất).
• a < 0: bề lõm hướng xuống (đỉnh là điểm cao nhất).
• Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = -b/(2a).
• Các bước vẽ parabol: tìm đỉnh → xác định bề lõm → tìm giao điểm với trục → lấy thêm điểm đối xứng → vẽ đường cong.

Bài tập gợi ý

Em hãy tự luyện tập các bài sau để nắm chắc kiến thức nhé:

1. Vẽ parabol y = x² + 2x - 3. Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng và các giao điểm với trục.
2. Vẽ parabol y = -2x² + 4x + 1. Cho biết bề lõm hướng lên hay xuống? Vì sao?
3. Cho hàm số y = x² - 6x + 8. Tìm tọa độ đỉnh và vẽ đồ thị.
4. Một quả bóng được đá lên theo quỹ đạo parabol y = -5x² + 20x (x tính bằng mét, y tính bằng mét). Hãy tìm độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được (gợi ý: đó chính là tung độ đỉnh).

Chúc em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!