Hàm số bậc hai

Bài 1: Hàm số bậc hai – Lý thuyết và ví dụ

1. Giới thiệu

Trong chương trình Toán học lớp 12, chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu sâu hơn về hàm số bậc hai – một dạng hàm số quan trọng xuất hiện nhiều trong thực tế. Từ việc mô tả quỹ đạo của một vật ném lên cao cho đến thiết kế cầu vòm, hình ảnh của đường cong parabol luôn hiện hữu. Bài học này sẽ giúp các em nắm vững khái niệm cốt lõi và cách phân tích một hàm số bậc hai.

2. Lý thuyết

Khái niệm: Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức tổng quát sau:

y = ax² + bx + c với a ≠ 0.

Trong đó:

• a, b, c là các hệ số thực.
• x là biến số.
• y là giá trị của hàm số tại x.

Đồ thị: Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong gọi là parabol. Parabol có những đặc điểm quan trọng sau:

• Đỉnh parabol: Là điểm cao nhất (nếu a < 0) hoặc điểm thấp nhất (nếu a > 0) của đồ thị. Tọa độ đỉnh được tính:
  I( -b/(2a) ; -Δ/(4a) ) với Δ = b² – 4ac.
• Trục đối xứng: Là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình: x = -b/(2a).
• Hướng bề lõm:
  • Nếu a > 0: bề lõm quay lên trên (hình chữ U).
  • Nếu a < 0: bề lõm quay xuống dưới (hình chữ U ngược).
• Giao điểm với trục tung: Tại điểm (0 ; c).
• Giao điểm với trục hoành: Là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (nếu có).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc hai y = x² – 4x + 3.

• Nhận dạng: a = 1, b = -4, c = 3. Vì a > 0 nên parabol có bề lõm quay lên trên.
• Tọa độ đỉnh:
  Hoành độ đỉnh: x = -b/(2a) = 4/2 = 2.
  Tung độ đỉnh: y = 2² – 4*2 + 3 = -1. Vậy đỉnh I(2 ; -1).
• Trục đối xứng: x = 2.
• Giao điểm với trục tung: Thay x = 0 → y = 3, điểm (0 ; 3).
• Giao điểm với trục hoành: Giải x² – 4x + 3 = 0 → x = 1 hoặc x = 3, điểm (1 ; 0) và (3 ; 0).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -2x² + 4x – 1.

• Nhận dạng: a = -2, b = 4, c = -1. Vì a < 0 nên bề lõm quay xuống dưới.
• Tọa độ đỉnh:
  x = -4/(2*(-2)) = 1.
  y = -2*1² + 4*1 – 1 = 1. Vậy đỉnh I(1 ; 1).
• Trục đối xứng: x = 1.
• Giao điểm trục tung: (0 ; -1).
• Giao điểm trục hoành: Giải -2x² + 4x – 1 = 0 → 2x² – 4x + 1 = 0. Δ' = 4 – 2 = 2, nghiệm x = (2 ± √2)/2.

4. Ghi nhớ

Để vẽ và phân tích một parabol, các em cần nhớ:

1. Xác định hệ số a để biết bề lõm quay hướng nào.
2. Tìm tọa độ đỉnh I bằng công thức x = -b/(2a) và y = ax² + bx + c.
3. Xác định trục đối xứng là đường thẳng qua đỉnh.
4. Tìm giao điểm với trục tung (x = 0) và trục hoành (y = 0).
5. Lấy thêm một vài điểm đối xứng qua trục để vẽ chính xác.

5. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập với các bài sau:

• Bài 1: Cho hàm số y = 3x² – 6x + 2. Hãy tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng và các giao điểm với trục tọa độ.
• Bài 2: Cho hàm số y = -x² + 2x + 3. Xác định hướng bề lõm và vẽ phác họa đồ thị.
• Bài 3: Tìm hệ số a, b, c biết đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua ba điểm A(0 ; -1), B(1 ; 0) và C(2 ; 3).

Gợi ý: Với bài 3, các em lập hệ phương trình từ việc thay tọa độ từng điểm vào công thức tổng quát.