Bài tập: Hàm số bậc hai

Bài tập: Hàm số bậc hai

Giới thiệu

Chào các em, trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và luyện tập các dạng bài tập liên quan đến hàm số bậc hai và đồ thị hình parabol của nó. Các em đã được học lý thuyết về hàm số bậc hai có dạng tổng quát y = ax² + bx + c (với a ≠ 0). Giờ đây, việc giải bài tập sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về hình dạng, đỉnh, trục đối xứng và sự biến thiên của parabol. Chúng ta sẽ tập trung vào các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết.

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi bắt tay vào bài tập, các em hãy ghi nhớ một số điều quan trọng sau:

• Dạng tổng quát: y = ax² + bx + c (với a ≠ 0).
• Đồ thị: Là một đường parabol.
• Đỉnh của parabol: I(-b/(2a); -Δ/(4a)), với Δ = b² - 4ac.
• Trục đối xứng: Đường thẳng x = -b/(2a).
• Hướng bề lõm: Nếu a > 0, parabol có bề lõm hướng lên trên. Nếu a < 0, parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
• Giao điểm với trục tung (Oy): Điểm (0; c).
• Giao điểm với trục hoành (Ox): Là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (nếu có).

Ví dụ minh họa có hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Xác định các yếu tố của parabol

Đề bài: Cho hàm số bậc hai y = -x² + 4x - 3.

Yêu cầu:

1. Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol.
2. Hãy cho biết parabol có bề lõm hướng lên hay hướng xuống? Vì sao?
3. Tìm giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Xác định các hệ số. Ta có a = -1, b = 4, c = -3.
• Bước 2: Tính tọa độ đỉnh.
  • Hoành độ đỉnh: x_đỉnh = -b/(2a) = -4/(2*(-1)) = 2.
  • Tung độ đỉnh: Thay x = 2 vào hàm số: y_đỉnh = -(2)² + 4*2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1.
  • Vậy đỉnh I(2; 1).
• Bước 3: Trục đối xứng là đường thẳng x = 2.
• Bước 4: Vì a = -1 < 0, nên parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
• Bước 5: Tìm giao điểm.
  • Giao điểm với trục tung: Cho x = 0, ta có y = -3. Vậy điểm A(0; -3).
  • Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình -x² + 4x - 3 = 0.
    • Nhân cả hai vế với -1: x² - 4x + 3 = 0.
    • Giải ra được hai nghiệm là x = 1 và x = 3.
    • Vậy hai giao điểm là B(1; 0) và C(3; 0).

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Đề bài: Vẽ đồ thị hàm số y = x² - 2x - 3.

Hướng dẫn giải:

1. Bước 1: Xác định các yếu tố đặc biệt.
   • Đỉnh I: x_đỉnh = -(-2)/(2*1) = 1. y_đỉnh = (1)² - 2*1 - 3 = -4. Vậy I(1; -4).
   • Trục đối xứng: x = 1.
   • Hệ số a = 1 > 0, parabol có bề lõm hướng lên.
   • Giao điểm với trục tung: A(0; -3).
   • Giao điểm với trục hoành: Giải x² - 2x - 3 = 0, được x = -1 và x = 3. Vậy B(-1; 0) và C(3; 0).
2. Bước 2: Lập bảng giá trị (ngoài các điểm đặc biệt, ta có thể lấy thêm một vài điểm để vẽ chính xác hơn).
   • Lấy điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 1. Vì A có hoành độ 0, điểm đối xứng có hoành độ 2. Thay x = 2 vào hàm số: y = (2)² - 2*2 - 3 = -3. Vậy điểm D(2; -3).
3. Bước 3: Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, đánh dấu các điểm I, A, B, C, D. Vẽ đường parabol đi qua các điểm này, chú ý bề lõm hướng lên và đỉnh là điểm thấp nhất.

Ghi nhớ

Khi làm bài tập về hàm số bậc hai, các em cần:

• Luôn xác định đúng các hệ số a, b, c.
• Tính toán cẩn thận tọa độ đỉnh và các giao điểm.
• Nhận xét hệ số a để biết hướng của bề lõm.
• Vẽ đồ thị cần chính xác và rõ ràng các yếu tố như đỉnh, trục đối xứng, giao điểm.

Bài tập gợi ý

Để các em tự luyện tập, sau đây là một số bài tập:

1. Bài 1: Cho hàm số y = 2x² - 4x + 1.
   • a) Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng.
   • b) Hàm số đồng biến và nghịch biến trên khoảng nào?
   • c) Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
2. Bài 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = -x² + 2x + 3. Dựa vào đồ thị, hãy xác định các giá trị của x để hàm số nhận giá trị dương.
3. Bài 3: Xác định parabol y = ax² + bx + c, biết parabol đó đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; 0) và C(2; 3).

Chúc các em học tập tốt và giải bài thành công!